矿产资源储量计算方法
（SD法）
第1章 绪言
1.1 SD法创立背景及意义
1.1.1国内外矿产资源储量估算方法概况及存在的问题
从地质勘查评价到矿床开采的整个工作过程，各个阶段都需要根据不同任务的要求，对矿床进行多次储量计算。储量计算工作不仅仅限于矿石埋藏量的计算，而且还涉及到矿石质量、矿体形态、规模、复杂程度、工程控制程度、开采条件以及经济价值等诸问题。因此，储量计算一直被列为地质勘查各阶段极其重要的工作。
储量计算方法与勘探方法常是相辅而行的。一套勘探方法常伴随着相应的储量计算方法。由于矿床的多样性和矿体的复杂性，使得勘探方法也多种多样，伴之的便有不同的储量计算方法。就固体矿产储量计算而言，其方法已达数十种。如果矿体形态简单、矿化均一或工程控制非常密集，则无论使用何种储量估算方法，其储量误差都不会太大。反之，如果矿体形态和矿化复杂或工程控制稀疏，则使用不同的储量估算方法，其结果可能差别甚大。每一种储量估算方法都有它各自的适用条件，忽略这个条件，效果可能会很差。
在阐述SD法之前，先介绍几种常用的资源储量估算方法。
1、传统几何法
传统几何法（或称传统法），是我国建国以来用得最广的储量计算法。它是50年代从苏联引入的一套较为简易的计算方法。传统几何法，一般是指固体矿产储量计算中常用的算术平均法、块段法、断面法、多角形法或多边形法等。虽然，这些方法的特点和功能不同，但它们都是遵循一个基本原则，即把形状复杂的或未知的矿体描绘成与该矿体体积大致相等的简单形体，并将矿化复杂状态变为在影响范围内的匀化状态，从而计算其体积、矿石量、平均品位、金属量等。传统法的优点在于简便、易于掌握、不使用计算机也可以进行计算，因而该法一直沿用至今。特别，当工程数很少，只对矿产储量进行概略估计时或初勘阶段对储量精度要求不高时，采用该法是可行的，并且非常方便灵活；当矿体形态简单或品位变化不大，或者工程数非常之多、控制程度相当高时，传统几何法也是可行的。但当矿体形态和矿化复杂、工程控制不是特别密集时，而想用传统法计算得到精度较高的储量是很困难的。这是因为，根据很有限的工程资料编绘的简单矿体形体，很难说是与真实复杂形体的体积大致相等，并且，把取样点的品位延拓到它的所谓的影响范围（块段）而作为该范围品位的均值，这种影响范围也很难说是它的真正影响范围。这样，由此计算的矿石储量和品位便会产生事先无法得知的随机误差。这就是传统法可靠性差的原因所在。并且这种可靠性或误差还无法进行自身估计。
如果能够使传统法比较真实地把形状复杂或未知的矿体描绘成与之体积大致相等的简单形体，那么，计算的效果显著会好些。如果再解决误差（或精度）的自审功能，则这种储量计算方法将是很可行的。SD法正是在这些方面优越于传统法的。
2、样条函数法
样条函数是近四十年来发展起来的一门数学分支学科，它主要应用于飞机、船舶制造业。将它用于矿产储量计算，是基于某些矿体矿化是连续的、甚至是可导的条件。例如某些矿化均匀的沉积矿床、层控矿床等。当稀疏地施以工程后，将得到的各工程观测点连接起来，可以认为连接的曲线是一条光滑曲线，于是用样条函数拟合，并进行样条函数积分，从而计算储量。此即样条函数储量计算法。在样条函数中，储量计算一般采用Spline函数，亦叫三次样条函数。知道或给定各观测点的一阶导数的样条函数亦称埃米尔特函数，由此定义可以知道埃米尔特函数储量计算法实质上是样条函数法的一种类型。
样条函数法在我国运用时间不长，应用范围也不广。它是70年代末80年代初在我国地质、煤炭系统发展起来的。这种方法适用于断面图上连续变化的矿体圈定和计算。对于形状和矿化复杂的矿体，其效果较差。SD法最初也是在70年代末从研究样条函数开始而发展起来的，即用样条函数进行数值积分而着手改造传统法。当时尚未出现样条函数储量计算法。样条函数法类似于SD法中的普通SD法，但普通SD法却能适用于形状和矿化复杂的矿体的储量计算。
3、距离幂次反比法
距离幂次反比法，与前面两类方法截然不同。它不考虑观测值的厚度、矿体形态和体积，是一种类似于后面将讨论的克立格法的品位局部估计方法。
距离幂次反比法以品位变化是距离的函数为依据而建立的一种方法。某一个点的品位值可用它周围不同距离点的已知品位对它进行估计。离被估计点距离越远，估计作用越小，距离越近，估计作用越大，即呈现出距离幂次的反比函数关系。幂次可以是一次、二次，也可以是多次。但一般采用二次，称为距离平方反比法。
一般认为，距离平方反比法如果用得恰当，其效果是较好的。但是，这种“恰当”，却不容易掌握。同时，它的幂次用多大适合？也常是凭经验。不过，距离平方反比法在考虑变量空间相关权时，距离越远权越小，距离越近权越大的思想是可取的。SD法在一定程度上吸取了这种思想。
4、地质统计学储量计算法
地质统计学储量计算法（克立格法）被认为是目前世界上最先进、最科学的储量计算法之一。但它是建立在概率统计学基础之上而发展起来的一门学科。
地质统计学区别于经典统计学的重要标志是地质统计学将变量区域化。它以区域化变量作为理论基础，系统地研究区域化变量增量的空间相关性及其变化规律，从而对被估块段进行无偏估计，并可以提供估计值的置信区间。这种方法的出现，使矿产储量计算方法研究进入了一个新阶段。
在最大限度地利用勘探工程所提供的信息方面，克立格法不失为一种较好的储量计算方法。但在勘探资料不理想的情况下，例如当工程数或取样点过多或过少，用克立格法计算储量却不太适宜。取样点过多，用一般的传统法即可，不仅简便易行，而且效果也较好。D.G.Krige本人也承认（潘恩沛等，1988）：如果在块段中有许多可用数据点，一般说，这时用地质统计学原理获益较少；如果数据点相当丰富而且分布均匀，这时应用地质统计学估计整个矿床获益也很小。他认为，对于这样的样品，很难得到可靠的估计。法国学者R.G.Wadley说（潘恩沛等，1988）：“当远景估算是建立在仅有数十个钻孔基础上的时候，应用地质统计学是不恰当的”。D.G.Krige还认为（潘恩沛等，1988）：“只有当根据有限数据估量单个矿石块段，而且估计误差很大，这时克立格法才会显示出明显的优点”。由此可以看出，克立格法的应用是有条件的。
SD法对克立格法这一应用条件可以适当放宽，SD法对于工程数不苛求，一般只要有几个至数十个钻孔，就能取得较好的效果。而且在适用范围上，SD法也有较大的适应性。当工程数较多时，SD法效果更好，而且计算工作量也不会增加很多。
1.1.2 SD法创立及其重要意义
目前，国内用得最多的是传统几何法（传统储量计算法）。它是50年代从苏联引入的一套较为简易的计算方法。长期以来，它对我国的矿产勘查、开采起着极为重要和积极的作用。不过，通过多年的实践经验，人们已越来越感觉到传统几何法已不能适应现代生产发展的要求，特别是我国加入WTO后，随着市场经济体制的建立和深入发展，这种方法就更难适应了。它的缺点是主观性大，可靠性差，容易造成较大的误差，而且事先还不能估计。这对以后的工作可能会造成不同程度的损失，对地勘工作中的工程控制程度，无法给出合适的尺度，无疑会给地勘工作带来许多困难和风险。因此，从根本上改革传统储量计算法，十分必要。
七十年代末，引进了西方国家的地质统计学资源储量计算方法，即克立格法。应该说，这是可以与西方发达国家直接接轨的方法，但是，二十多年来此法一直难以在国内推广。原因是多方面的，除了传统观念的约束外，还有克立格法自身的原因，它不太适合我国中小矿多、贫矿多的国情。
于是，八十年代初，由我国地质科技工作者唐义教授、蓝运蓉教授从我国矿产特点和矿产勘查、矿山设计、建设和生产以及储量报告审查的需要出发，潜心研究了二十多年，创立和命名的SD矿产资源储量计算及审定方法（简称SD法）在中国问世后，扩展了资源储量计算方法领域，使资源储量计算方法学科向前跨进了一大步。它利用一系列的数学地质工具形成了一套整体、连贯的具有领先水平的方法体系，除了能较好用于大型、特大型矿床外，对难度较大的中小型矿床，贫而复杂的矿床，更有其独特的效果。SD法突破了资源储量计算和审定中的理论和技术难点，完善地解决了资源储量计算中的风险问题，从而填补了“确定矿产资源储量精度、矿产勘查中工程控制程度和地质可靠程度划分的科学定量尺度”的空白。
同时，SD理论方法的创立推动了其他学科以及其他领域的发展。SD动态分维理论和SD样条函数的建立为数学领域和数学地质领域的样条函数和分维几何学等学科增添了新的内容，并使得这些学科在工业、农业、医疗和航天等各个领域的核心技术应用中作出了重大突破。
1.2 SD法研究历史及发展现状
1.2.1 SD法发展历程及成就
（一）研究起源
SD法的研究起源于1979年。唐义教授和蓝运蓉教授1960年从原成都地质学院毕业后，在从事矿产地质工作中，一方面觉得地勘工作储量计算方法简单方便，同时也深感其缺乏应有的先进性，影响着矿产地勘工作的发展。七十年代末在系统研究了国内外诸多储量计算方法之后，觉得任何一种方法都有它适用的条件和范围。于是，从我国矿产特点和矿产勘查，矿山设计、建设和生产，以及储量报告审查的需要出发，于1979年从另一个角度开展了一种新的矿产资源储量计算方法—SD法的研究。
（二）SD理论体系创立
SD法理论体系的创立经历了1979年～1989年近十年时间。主要发展历程如下：
1）1981年，关于SD法的理论研究列为了云南地矿局项目；
2）1984年，建立了SD法的理论并得到了成功的应用；
3）1986年，国家自然基金批准该项目列项（编号85015），项目得以进一步深化，初步形成了一套完整的SD法系统。
4）1988年，经过对国内五省的十余个矿山八个矿种以及多个矿床类型的成功试验，提交了项目应用报告。同年12月，国家矿产储量管理局组织国内有关数学、数学地质、矿床勘探、计算机软件等方面的专家评审并通过。结论指出：SD法在理论上构思新颖、有独创性，这套方法在实践上是可行的，具有实用价值，达到了国内先进水平。
5）1990年，《SD储量计算法》一书，由地质出版社出版并公开发行。
（三）SD法中小型软件系统完善
为推进SD法的发展，地矿部于90年批准SD法在×××金矿勘查中作新技术推广试验，国储局科技处亦推荐在×××铜矿作矿山生产试验。此外，为进一步完善SD软件系统，原国储局又将“SD法多机型应用研究”项目课题列为国储局的科研项目向国家科委申报，并得到科委批准列项（编号1990－3－13－D－0）。这三项部级和国家级研究项目，于92年完成，取得了良好效果，提交了三份推广应用和研究报告。为此，1994年12月全国储委办公室再次组织以中科院院士赵鹏大教授为组长的评审组的评审鉴定，结论是：SD法是“全新创造。独具中国特色”。“在储量计算理论和方法体系方面，已达到国内领先水平。是一项具有中国特色的十分宝贵的科技成果”，并发文（（95）05号）指出，“SD法小型机软件系统，可用于储量报告的编制和储量计算”。由此说明，SD法在各方面已趋成熟。
（四）SD法深入和扩展研究以及SD法微机化
为了使SD法再上新台阶，推进矿产储量计算和管理朝科学方向发展，1992年原国储局将SD法再次列为科研计划向国家科委提出题为“SD储量计算方法系统研究”课题的申请。1993年8月由国家科委主持，由科学院院士郭文魁为组长的论证组对此课题进行了论证。论证书再次肯定：“SD法是一种新颖的有中国特色的矿产储量计算方法”，提议予以立项。“进一步攻关研究”。于是，国家科委将“SD储量计算方法系统研究”课题列入八五国家重点科技攻关项目，编号：85－925－16－02。在为SD法广泛全面推广应用创造成熟条件的同时，向储量计算的国际领先领域迈进。
这次攻关项目的重点内容包括三个方面：（1）SD法精度理论的深入研究和SD方法的扩展研究；（2）SD法软件系统微机化；（3）SD法绘图系统的配置。经过两年多全体参研人员努力，完成和超额完成了SD法的深入研究；实现了SD法软件系统微机化，配置了SD绘图系统。使得SD软件在操作上更加灵活方便。功能上更能适应多矿种、多矿石类型和各种复杂的矿床。此外，为配合市场对矿产的需求和对工业指标的确定，特增加了一项“矿床技术经济评价”的内容。整个研究过程，始终伴随着矿区的验证。
1997年4月28日，国家科委组织专家对SD法评审，鉴定委员会认为：“SD法在储量计算领域，SD法理论和方法均达到国际领先水平，完全适用于地质、矿山等生产领域的应用，为国际储量计算学科理论方法方面的发展做出了重大贡献”。全国矿产资源委员会办公室于同年10月8日正式发文（全资办（储）发【1997】02号）指出“此种方法，现予以确认”。并发函要求在全国范围内推广应用SD法。
1.2.2 SD法发展现状
通过近三十年来的推广应用，SD法在国内100多个矿山（矿区）进行了成功应用，证明了它卓越的先进性、方法的广泛性、适用性、结果的高度准确性和确切的风险认知性。正是基于SD法能全面系统地应用于地质矿产勘查、开采设计、管理和矿产资源储量估算、报告提交、报告评审等各个环节，特别是在市场经济条件下，可以为矿业市场中的矿权交易提供准绳，可以引导矿业市场中的矿权交易健康发展。因此，SD法于2002年被正式纳入了国家《固体矿产地质勘查规范总则》（GB/T13908-2002）标准及行业标准。
在成为国标后，SD法一直为提高我国资源储量管理水平作着积极的推动作用，为固体矿产分类的实施提供了量化标准。2002年8月通过在甘肃阳山金矿的试点，国土资源部储量司指出“对于大型矿床特别是贵金属矿床（如金矿床等），提交报告必须用另外一种先进的方法（如：SD法）去验算”。目前，SD法已在全国广泛应用。不仅有效地指导勘查进程，还提高了编制和提交预查、普查、详查、勘探等各阶段勘查报告的时效性，同时保证了各类报告的编制质量，并已成为矿山三级矿量动态监测管理的有效工具，在投资预测、矿权评估等矿业活动中正发挥着积极的、重要的作用。
第2章 SD法概论
2.1 SD法概念
2.1.1 SD法定义
SD法的全称是“最佳结构曲线断面积分储量计算和审定计算法”，是以方法简便灵活为准则，以储量精确可靠为目的，以SD动态分维几何学为理论，最佳结构地质变量为基础，以断面构形为核心，以Spline函数及分维几何学为主要数学工具的储量计算方法。SD法是SD动态分维几何法的简称，是20世纪末在中国诞生的一种全新的矿产资源储量计算及资源储量审定法。它有别于地质统计学储量计算法，是一种比传统储量计算法更深入、更可靠的自动化资源储量计算方法。
SD法是集固体矿产资源储量计算、审定、评价等为一体的一整套连贯的方法体系，SD体系包括：一套SD理论、两种SD基本方法、四条SD基本原理、八组SD基本公式、七套系列SD软件等（图1－1）。
SD理论是以分维几何学为理论基础建立起来的SD动态分维几何学。SD理论即SD动态分维几何学。因此，SD法就是SD动态分维几何学矿产资源储量计算和矿产资源储量审定法。
SD原理包括SD降维形变原理、SD权尺稳健原理、SD搜索求解原理、SD递进逼近原理。
SD方法包括SD矿产资源储量计算和SD矿产资源审定计算两部分。矿产资源储量计算方法有普通SD法、SD搜索法、SD递进法、SD任意块段法等；SD审定计算有SD稳健法、SD精度法。
SD软件应用系统包括单机局域网系列和互联网系列。根据其功能不同，划分了系列产品。按不同需求，分为多个版本，包括速算通、单矿通、企业通、行业通、储量通、评审通、矿业通等七种。
2.1.2 “SD”名称的含义
“SD”具有理论、原理、方法和功能几个方面的含义，具体表现在以下三个方面：
1）SD是结构曲线（Structure curve）积分计算和动态分维审定的矿产资源储量方法，取结构曲线中Spline函数的第一个字母S和动态分维几何学一词的汉语拼音第一个字母D，即“SD”；
2）SD法计算过程，主要采用搜索递进法，取“搜索”一词的汉语拼音的第一个字母S，取“递进”一词的汉语拼音第一个字母D，即“SD”；
3）SD法具有从定量角度审定储量的功能，取“审定”一词汉语拼音声母的第一个字母，亦即“SD”。
2.2 SD法基本思想
2.2.1 SD法实现目标
储量计算方法的发展，必须适应科学技术水平和社会经济的发展。通过对国内外大量储量计算方法的研究对比，并结合我国矿产资源特点，在SD法的研究和应用过程中一直以“方便快捷、准确可靠、灵活实用、全面系统”十六字方针为目标和要求。
方便快捷：即计算机化，不仅操作方便，而且计算快，达到迅速解决问题的目的。
准确可靠：使计算结果比较接近客观实际，且不受勘查阶段的约束。同时，对计算结果可以自审，提高结果的把握性和保证性，做到有效控制各种勘查和开采风险。
灵活实用：1）能够灵活快速改变工业指标计算；2）能够分矿体、分矿石类型、分任意块段等多样化计算；3）能够自动绘制相关图件和报表，提高报告编制质量，增强编制报告的实用性和时效性。
全面系统：实现勘查、设计、开采一体化；计算、审定、管理一体化；复核、评审、评估一体化。建立矿产资源储量一体化动态计算模式，实现矿产开发过程中的数据资源共享，建立矿产开发资源管理一条龙的统一方法技术和管理系统，为政府管理部门和技术部门提供可操作性强的技术标准和实用工具，引导矿业市场高效、健康发展。
2.2.2 SD法基本原则
为了保证SD法目标的顺利实现，实施过程中遵循以下八条基本原则，具体如下：
1）简便化：复杂问题简单化；
2）规则化：多样问题统一化；
3）粗视化：严密问题大众化；
4）自动化：手工操作数字化；
5）演绎化：概率问题演绎化；
6）定量化：模糊问题定量化；
7）科学化：随机问题确定化；
8）动态化：静态信息动态化；
2.2.3 SD法基本思想
（一）SD法对矿体复杂性和取样有限性的认识
所有储量计算方法都会由于矿体复杂性和取样的有限性而会不同程度地遇到障碍，SD法也不例外。但是，SD法从客观角度出发寻求更加科学的技术手段来解决它。
矿体的复杂性，这里主要指矿体形态的复杂程度和品位空间变化程度。对于大多数矿体说来，矿体形态是复杂的，品位的空间变化也很大。在某些资源储量估算方法中用某一位置上取样的量值（如厚度、品位等）代替周围一定范围的量值。这种将取值作为均值的统计学思想，经过多年实践目前已被公认是不合理的。但是，什么样的资源储量计算方法能对取值的处理更为合理呢？许多人正在做这方面的研究。人们已经认识到，矿体空间任一点的地质变量（如厚度、品位等）都具有规律性和随机性的双重性质。若仅仅注意地质变量的规律性而忽视其随机性，如果采用确定性模型，则矿体越复杂其储量误差越大；若仅仅考虑地质变量的随机性而忽视其空间变化规律性，如果采用纯统计模型，就失去了储量计算的地质意义。既考虑规律性又考虑随机性，是目前一些新的储量计算法普遍注意到的问题。为了克服表现矿体复杂性的地质变量随机因素干扰，SD法以动态分维理论引出了结构地质变量概念。
取样的有限性，是指地质勘探工作受到经济效益的约束，而不可能随意取样，只能施工有限工程在其中取样。一般说来，工程越多，勘探程度亦越高，从而对地质现象认识越深入，储量计算亦越准确。但是，工程过多，不仅经济不合理，而且延长了勘查周期。在地质勘查整个过程（各个阶段）中，工程数和取样数量都是有限的。用较少的已知数据去估计复杂矿体的总体，而使其吻合无误，这是难以实现的。不过，对于一个具体的矿体而言，施以一定量的工程，就已经体现了它的某种控制程度。只是在具体地从定量角度指明工程控制程度和储量计算精度问题上在SD法出现前一直没有解决好。然而，我们可以看到，工程控制程度常是由矿体的复杂程度来决定的，而矿体的复杂程度又是在一定数量的工程控制条件下去描述的。利用这种相依关系，SD法采取了一系列从数据取值直到整个运算的稳健步骤，以有限递进逼近的思想导出了搜索递进计算法，以及极限精度法——SD法精度法。从而实现SD动态审定一体化储量计算，使得SD法能根据要求达到的地质可靠程度等级，正确指导施工数及工程间距，根据取样的有限性，科学地确定工程控制程度。
（二）SD法对储量审定的认识
审定计算，是指对储量精度、地质可靠程度等级的审定。这是当今其它一些储量计算方法尚未解决好的重要问题（潘恩沛等，1988）。SD法在解决这个问题时建立了SD动态分维理论，引入了分数维的概念，将矿体降维后，由分维数来刻画储量精度。一般说来，对于同一矿体，随着观测点的增多，分维数逐步增大，它的精度也相应随观测点的增多而增高。建立了以预测精度来定量确定地质可靠程度等级的标准，较好地找出这种相应关系，比较准确地预测它的精度。
（三）SD法对动态计算的认识
动态计算，是基于矿体既是地质体，又是经济体的事实。对于在各种条件下随经济变动引起变化的矿体储量计算，矿产资源/储量应是动态的。例如动态地确定工业指标，动态地圈定矿体，动态地搜索计算资源储量和预测精度以及评价矿产经济意义等。在计算过程中，坚持复杂问题简单化，对矿体自然形态实施降维形变，以断面构形反映空间构形，并通过SD样条函数构造结构地质变量曲线，采取搜索求解原理实现动态计算。
（四）SD法对一体化计算的认识
一体化储量计算，是指从勘查地质工作到矿山地质工作全过程的储量计算一体化，在该计算过程中，始终贯穿着动态计算和审定计算。这种计算减少了资源储量多层次繁琐的改算工作。增强了适应各勘查、开采过程中需要的任意分块（中段）的计算功能。
这样，SD法的一套动态审定一体化储量计算，不仅灵活多用，而且计算结果准确可靠。SD精度对解答储量计算中的这一关键技术（难题）做出了突破，显示了SD法的优越性。应该说，SD法是适合我国实情的一种科学的资源储量计算方法。
2.3 SD法主要特点
1）克服了传统块段法由于块段划分不同而导致的储量结果人为性大、可靠性差的缺点，使得SD法结果稳健、准确、可靠。
2）SD法通过“齐底拓扑形变原理”保证了计算结果的唯一性，避免了传统断面法基于矿体形态先验图形的出现结果的多解性。
3）SD法对工程数不苛求，适用于从普查到勘探到开采各个阶段，能够较好地适用于大型、特大型矿床外，对贫而复杂的中小型矿床有其独特的效果。它解决了地质统计学因工程数少、分布不均、矿化复杂而估计误差较大的问题。
4）SD法完全实现了计算机化，自动化程度高，资源储量估算/核实、提交报告周期短、效率高。
5）SD法适应于动态管理，特别适用于动态改变工业指标，为工业指标论证提供有效手段。
6）利用SD精度，可以确定工程间距，预测工程数。有效指导勘查工作进程，减少盲目性、增强计划性。
7）SD法突破了资源储量计算和审定中的理论和技术难点，解决了资源储量计算中的风险问题，从而填补了“确定矿产资源储量精度、矿产勘查中工程控制程度和地质可靠程度划分的科学定量尺度”的空白。在矿产资源市场交易中，降低了双方的风险，确保了双方的合法权益，在矿权交易健康发展中起到了积极的引导作用。
2.4 SD法适用条件
1、SD法主要适用内生、外生的金属矿床和一般非金属矿床，不适用于某些没有定量指标圈定矿体的矿床。
2、SD法储量计算，计算的矿体应是同一矿体，或同源的矿带。对矿体形态复杂，矿化变化大的矿体，SD法远优于其它方法，而对于因构造复杂而破坏厉害的矿床，SD 法须做特殊处理便可。
3、SD法适于以勘探线为主或以断面施工的矿区。勘探线或断面平行、不平行均可。断面可以是垂直的，也可以是水平的。
4、SD软件系统适于奔腾Ⅱ型以上的微机运行。
第3章 SD法基本理论
SD理论是以分数维为依据，结构地质变量为基础，以SD样条函数为工具的SD动态分维几何学。
3.1 SD动态分维几何学的创立
SD动态分维几何学(SD move fractal geometry)是SD法的基本理论。它是以分维几何学为理论基础建立起来的动态分维几何学。
分维几何学的几何特征是：维数是静态的，不变的，图象是不可微的。
动态分维几何学的几何特征是：维数是动态的，可变的，图象具有可微性。
3.1.1分维几何学
（一）分维几何学的产生
维，是几何空间或客体的重要参数。是人们对物体（客体）存在的一种定量认识方式。状态空间的维数，就是描述空间中运动所需的变量个数。自然界的客体形态，常是很不规则的、复杂的。人们为了认识的方便，常把不规则体规则化，把复杂体简单化。于是，人们便习惯于用整数维的概念认识几何空间维。传统的欧氏几何学用点、直线、平面、立体描述一些规则的物体，如：0维是点，1维是线，2维是面，3维是体，4维是时空，这些维的最突出特征，维数都是整数。由它们刻画的线、面、体是光滑可微的，是理想化了的物体。当用欧氏几何学去描述自然的景物如星云、树、山脉等自然界的物体形态时，则碰到了很大的困难。事实上，自然界客观存在的许多物象的线、面、体都不是理想化的光滑，而呈粗糙程度不等的状态。欧氏几何学描述的对象在自然界中是不存在的。整数维不能客观表征它们的复杂性和占据的空间规模。倘若复杂客体被规则化、简单化后而不能比较准确地反映客观规律的时候，常常用统计学来描述客体的规律。地质统计学也由此而产生。它们都是在统计意义下对客体的认识。随着科学技术的飞速发展，对客观世界认识逐步深化，人们要求对复杂的客体作更科学的刻画。讨论一个复杂客体的复杂度的时候，其他一些方法难以胜任，而分维几何学在这个领域里却占了极重要的位置。
分形几何学(fractal geometry)，又叫分维几何学，是由数学家曼德布罗特(mandelbrot B.B.)于二十世纪七十年代从非线性科学研究发展并创立的一支新的数学分支学科。它研究的是奇异几何图象，它所说的分形，是适合于描述大自然的几何，它所描述的自然界存在的物体，如星云分布、海岸线的形状、山脉的起伏、人体血管系统、蛋白质的结构等等，这些图象图形严格说来，是不能用确定性数学模型表述的，也不能用概率统计进行分析。分形的一个重要性质是，分形物体（图像）的局部与整体存在自相似性。即整体是由多个以致无穷多个相似局部嵌套构成。例如，“云层”、“海岸线”局部与整体均相似，而且异地的所有云层相似，所有的海岸线都相似，凡相似的物象，其复杂程度大致相等。
分维几何学认为构成这些图象图形的点、线、面、体不是光滑的，而是粗糙的，并且粗糙的程度是不同的。可以说，自然界千差万别的物象，光滑的几乎没有。这种粗糙程度由维去度量，就是分维，它的维数即是分数维，用分数维来表示它的复杂程度。例如，曼氏测得砂土的分数维是2.61，布朗运动轨迹的分数维是2，一条类似海岸的曲线，它的分数维是1.262，这既是此曲线的维数，又是此曲线固有的复杂度。这是一个不变量。表现的是它固有的复杂度，是静态的，绝对的，而且许多时候是一个近似值。
（二）分数维的计算
分维几何学用“维”来度量图像、图形的粗糙程度（复杂程度），粗糙程度的大小用“维数”来衡量。由于分数维的类型很多，如：相似维、拓扑维、豪斯道夫维，容量维等等。计算非常复杂。这里不一一表述和计算。下面只对“豪斯道夫维”列举最简单的表述和计算方法。
我们知道，将直线段AB放大2倍后，得到等于原来线段AB的2倍的线段，即21＝2，称线段是一维的；如果以AB直线段，构成每边边长为AB的正方形，AB放大2倍，得到等于原来正方形4倍的正方形，即22＝4，则说此正方图形是2维的；同样，一个正方体，则为23＝8，则称此立方体是三维的。由此推广，可以得到一个通式：
(1)
n是维数，h是n维几何体的每一维的放大倍数，L为放大后等于原有图形的个数。于是，维数：
(2)
这样，直线、正方形、立方体，其比值1nL/1nh均是整数。因此，维数n也就是整数。对于复杂几何体说来，情况就不同了，它的比值不一定是整数，而常常是分数，这就是分数维，简称分维。用公式（2）广义地来定义几何体的维数，称豪斯道夫维数。
如果将区间[0，1]分成1/m的m个线段，舍去中间的不包括两端的一个1/m的线段，将剩下的s个线段,每段再分成1/m的m个线段，也同样舍去中间一段，照此下去，以至无穷，留下来的是无穷的不可数的点集，称康托尔集，用豪斯道夫维数定义得到区间[0，1]点集的维数：
如果，每次分成3段，则m＝3，s＝2，于是
。就是说，对于这无穷多个不相衔接的点集的维数，既不是零维，也不是一维，而是介于[0,1]之间的分数维。由此描述了它的图形的复杂程度。
对于任何一个几何图形，都可以按一定规则求出它的豪斯道夫维数，来刻画几何图形的复杂程度。例如：